НЕФТЬ-ГАЗ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА
На главную >>


Теперь на нашем сайте можно за 5 минут создать свежий реферат или доклад

Скачать книгу целиком можно на сайте: www.nglib.ru.

Предложения в тексте с термином "Формула"

Величина суммы, полученной векселедержателем, рассчитывается по формуле (19) и при F = 14 тыс.

Действительно, по формуле (8) получим:

Полагая в формуле (24) ^ = 9тыс.

, п = - года, d = 0,25 , по формуле Dj = Fnd определим комиссионные, удержанные банком за согласие учесть третий вексель:

будут начислены простые проценты за 190 дней, то вначале по формуле (10) находим сумму, которая должна быть выплачена предъявителю векселя при его погашении:

Поскольку вексель был учтен за 41 день до срока погашения, то по формуле (19) владелец векселя получит сумму:

Величину Лс можно было найти и по формуле Лс = Р - Р.

Если учет производится по простой процентной ставке, то, полагая в формуле (18) F = 40 тыс.

Если же учет производится по простой учетной ставке, то пользуемся формулой (19) при F = 4Q тыс.

Действительно, по формуле (7) получим:

Поэтому можно воспользоваться формулой (20), в которой Р = 4 тыс.

Решение, а) Для расчета воспользуемся формулой (26), где г = 0,3, п = \ год: d = -^— = 0,2308.

Пользу-360 365 366 ясь формулой (26), соответственно получаем: -W667,

Если бы в случае а) временные базы были бы неодинаковы, например, для учетной ставки - 360 дней, для процентной ставки - 365 дней, то следовало бы пользоваться формулой (28), где Тг = 365 дней, Td = 360 дней и t = 150 дней:

Теперь с помощью формулы (19) можно рассчитать возможные значения суммы Р , полученной предпринимателем, и величину дисконта DJ.

Формула Фишера.

Формула связи между приведенной стоимостью срочного аннуитета и приведенными стоимостями бессрочных аннуитетов.

Если для учетной и процентной ставок используется одна и та же временная база, например 365 дней в году, и в расчет принимается точное число дней ссуды, то по формуле (25), полагая п = - года, d = 0,22 , находим: 365

Например, полагая в формуле (27) Тг = 365 , Tj = 360, при точном числе дней t = 1 56 находим: =0,2466.

Конечно, формулу (27) можно было использовать и в случае одной и той же временной базы для процентной и учетной ставок.

Приведите формулы, связывающие индекс роста с дисконт-фактором и ставками.

, t = 40 дней, Т = 360 дней, по формуле (23) получим: г = — ^ -- 360 = 0,4737 , или 47,37%.

Решим этот пример другим способом, согласно которому вначале находим по формуле (24) простую годовую учетную ставку, по которой осуществлялся учет векселя: - 360 = 0,45.

И после этого по формуле (27) определяем эквивалентную простую процентную ставку: г- З60'°'45 =0.

Цену покупки депозитного сертификата находим по формуле (19) при F = 300 тыс.

Доходность такой операции купли-продажи определяем по формуле (23), где Р = 274,882 тыс.

надо воспользоваться формулой (25): г =----~-----= 0^273 , или 32,73% годовых.

Следовательно, по формуле (23) доходность для банка будет:

Очевидно, можно было и сразу применить формулу (27) при Tr=Td= 360 :

Теперь по формуле (23) можно определить доходность учета векселя для банка в виде простой годовой процентной ставки: г = -—.

Формулы, примеры расчетов и практические советы: Пер.

Приведите определения процентов "со 100" и формулу их вычислений.

Какая простая процентная ставка при учете векселя (по формуле математического дисконтирования) за 60 дней до срока погашения эквивалентна учетной ставке при коммерческом учете, если учетная ставка равна: а) 10%, б) 20%, в) 50% годовых?

Приведите определения процентов "на 100" и формулу их вычислений.

Приведите определения процентов "во 100" и формулу их вычислений.

Наращенную сумму долга за 6 месяцев (0,5 года) находим по формуле наращения простыми процентами (10):

, что можно получить и пользуясь формулой (17).

Полагая в формуле (1) (см.

Так как с 4 марта по 16 июля - 134 дня, то по формуле (12) вычисляем процентный платеж за кредит:

, 360 V} который, естественно, можно было найти и пользуясь формулой / = —;, определив вначале значение дивизора D'-------= 1200 и полагая / = 134 дня.

Величину процентного платежа можно получить, вычисляя проценты "во 100" с помощью одного из соотношений формулы (14).

Аналогичным образом учетную ставку и дисконт-фактор находим соответственно по формулам (2),(4): d, 5 = 5°~4° = 0,2 или dl 5 = 20% ;

По какой формуле определяется средний срок кредита в условиях применения простых процентов?

По какой формуле определяется средняя процентная ставка?

Могут ли значительно отличаться средние значения, найденные по разным формулам как взвешенные суммы исходных значений?

Если простые проценты взыскиваются при выдаче ссуд, то какими формулами надо пользоваться при отыскании средних значений?

Можно ли при использовании соответствующей формулы значение средней ставки сразу получать в процентах?

Какие величины, как правило, выступают в качестве весов в формуле определения стоимости привлеченных средств?

Конечно, в формуле периоды nk измеряются в любых единицах времени (годы, е-2686 g 1 кварталы, месяцы, дни и т.

Так, если, например, сроки п^ даны в днях (вообще в любых, но единых для всех сроков единицах времени), a ik представляют собой годовые процентные ставки, то, не занимаясь переводом л^ в годы, по формуле (32) сразу получаем средний срок п в днях.

Аналогичные соображения можно высказать и в связи с применением формул (30), (34), (36).

По формуле (32) получим: _ 36-240-035 + 28-150- 0,32 + 60-100-0,38 + 52-80-0.

Формулу (32) можно записать и таким образом:

б) Как и в пункте а), измеряя сроки в днях, воспользуемся формулой (30): т _ 36-240-0,35 + 28-150-0,32 + 60-100-0,38 + 52-80-0,34 _

Записывая формулу (30) таким образом: = У *k, получаем представление / в виде взвешенной суммы процентных ставок.

Это утверждение следует из вида формул.

в) В этом случае нельзя одновременно применять формулы (30) и (32).

Можно показать, что если средний срок кредита рассчитывается по формуле (32), то среднюю процентную ставку надо рассчитывать по формуле (29).

А если средняя процентная ставка находится по формуле (30), то средний срок кредита надо находить по формуле (31).

Следовательно, воспользуемся формулами (32) и (29).

По формуле (32) п - 130 дней, а по формуле (29): - = 36 • 0,35 + 28 -0,32 + 60^0,38 + 52 • 0,34 _ <.

Заметим, что, применяя формулу (29), мы фактически решаем следующую задачу: найти среднюю процентную ставку, когда кредиты выданы на одинаковый срок (130 дней).

_ г) Среднюю величину кредита Р можно определить по формуле, аналогичной формулам (30) и (32): k=l

В разобранном примере значения средней процентной ставки, найденной по различным формулам, не отличались значительно друг от друга.

Если воспользоваться формулой (29), то: ;= 340-0,2 + 1,0,4

340 + 1 а если применить формулу (30), то: -_340-1-0,2 + 1-340-0,4

Таким образом, i, найденное по формуле (29), практически совпадает с одной из исходных процентных ставок i\ - 20% ; а i, найденное по формуле (30), является средним арифметическим ставок «1 = 20% и /2 = 40% • Это хорошо видно из представления средней ставки в виде взвешенной суммы исходных ставок: а) для формулы (29) i = 0,9971 /, + 0,0029 /2 ; б) для формулы (30) i = 0,5 /j + 0,5 ;2.

Сборник содержит также финансовые таишщы и основные формулы, необходимые для решения типовых задач.

Считая, что на эту сумму сразу начисляются проценты и так как /j = i2 = 13 = /4 = 0,4 > по любой формуле для определения средней процентной ставки получим /' = 0,4.

Следовательно, сразу воспользовавшись формулой (31), являющейся в этой ситуации частным случаем формулы (32), получаем: - 10-0 + 6-74 + 20-116 + 16-170 ,Л-.

Воспользуемся формулой (1).

Таким образом, при определении новой ставки можно воспользоваться формулой (34) определения среднего значения простой учетной ставки.

Поскольку уже определена средняя ставка, то для нахождения среднего срока воспользуемся формулой (35): _ 15-2 + 25-6 + 20-9 , и =-----------------------= 6 месяцев.

Если же, как это обычно делается, время учитывать при определении среднего срока, то по формулам (36) и (33) получим: _ 15-2-0,36 + 25-6-0,4 + 20-9-0,44 ,.

4 • Воспользуемся п формулой (36).

1 - nkdk п вначале найти Fk =------—, а затем применить формулу (36).

Применяя формулу (20), получим: = 37 7 тыс б

А теперь воспользуемся формулой (36), причем для упрощения расчетов заметим, что F^n^d^.

Можно вначале определить по формуле (25) эквивалентные простые процентные ставки: = 0,4691 ; ,, = — °'45 = 0,7198 ; - , 1-0,5-0,38 - 1-0,833-0,45 и = - — - = 0,5456 , J 1-0,667-0,4 а затем воспользоваться формулой (30): _ 30 0,5 -0,469 1 + 20 -0,833 -0,7 198 + 50 -0,667- 0,5456 _,.

; /1 = 34% ; /2 = 30% ; /3 = 42% и воспользуемся формулой (29).

(а это, как уже отмечалось, благодаря виду формулы можно сделать), то и результат получим в процентах: i = 40 • 34% + 20 • 30% + 80 • 42% = 40 + 20 + 80

Заметим, что другой способ определения стоимости привлеченных средств основан на использовании формулы (23), где через Р обозначена использованная сумма средств; через F - Р - проценты, выплаченные за использование суммы Р в течение времени и.

Таким образом, эта стоимость (обозначим ее через / ) определяется по формуле г =

m справедливо и > nk , то нетрудно показать, что для i из формулы (29) выполнено неравенство / > i.

получая 0,15), пользуемся последовательно формулами (6), (7), (8) при г = 0,15 и <2 = S = А' = 90 тыс.

Через полгода наращенная сумма на рублевом депозите составит (формула (9)): 9.

Теперь по формуле (23) опре-10,6 деляем доходность финансовой операции: 1.

Далее найдем по формуле (3) или (25) при п = 0,5 года величину простой процентной ставки, обеспечивающей такой же доход, как и учетная ставка d = 12% : г- °Д2 =0.

По формуле (10) при Р = 51900 руб.

Такой же вывод можно сделать, определяя доходность финансовой операции "конвертация - наращение - конвертация" в виде годовой простой процентной ставки по формуле (23):

Обозначим через t необходимое число дней, тогда, полагая в формуле (37) Р = 25 тыс.

Если бы не было налога на проценты, то, либо решая уравнение 28 = 25 • (1 + -- 0,4) , получающееся из формулы ( 1 0), либо 365пользуясь непосредственно формулой (21), получим:ло _ ле-109,5 дня.

Вообще, как видно из формулы (37), налог на проценты по существу уменьшает ставку наращения: начисление процентов фактически происходит не по ставке 0,4 , а по ставке 0,4 • (1 - ОД 2) = 0,352 , т.

Заметим, что, обозначая п = — к разрешая формулу (37) относительно t , получим формулу, аналогичную (21):

P-r(\-q) которой можно воспользоваться при ответе на первый вопрос примера и которая при q = 0 совпадает с формулой (21).

представляют собой сумму себестоимости товара и процентов "со 100" этой себестоимости (прибыли), то величина прибыли определяется по формуле (7) вычисления процентов "на 100".

Пользуемся формулой (38), где Р = 20 тыс.

Без уплаты налога наращенная сумма равнялась бы (по формуле (20)) 25 тыс.

Формула (38) показывает, что государство как бы учитывает сумму 25 тыс.

Если наращение осуществлялось по простой процентной ставке 30% годовых, то по формуле (37):

Разрешая формулу (37) относительно q , получим: иг Р ' 0,5-0,4 v 60 что эквивалентно q = 15 %.

представляют собой разность себестоимости товара и процентов "со 100" этой себестоимости (убытка), то величина убытка определяется по формуле (8) вычисления процентов "во 100" при К - 57 тыс.

, по формуле (39) находим индекс потребительских цен за 3 месяца (<=0,25 года):

Тогда по формуле (42) при (^ k = 3 получим 40>25) = 1рп.

в) Темп инфляции за три месяца находим из формулы (41): '-1 = 1,0915-1 т.

Такой же результат получается и по формуле (40):

692-634 Ю>25 634 г) Аналогичным образом, как и в предыдущем пункте, воспользуемся формулой (41) при / = —: (-) AI *1р12 -1 = 1,0296-1 = 0,0296.

Конечно, Л 1 можно найти и преобразуя формулу (42).

' ' за полгода (0,5 части года) найдем по формуле (42):

п в) Индекс инфляции в среднем за квартал (0,25 части года) можно найти либо по формуле (42): г(0.

Из разобранных двух последних примеров видно, что при применении формул вычисления процентов "на 100" или "во 100" (формулы (7) и (8)) вначале нужно определить, с каким капиталом (согласно условию задачи) имеем дело - с наращенным или уменьшенным, после чего решение задачи не представляет трудностей.

Полагая в формуле (46) п = 1 , г = 0,42 , /?

Значение такой ставки находим по формуле (45): т = (1 4 0,42) '1,2-1 = 0,704, или 70,4% годовых.

Естественно, можно было воспользоваться и формулой (44), полагая А„ = ОД : г = 0,42 + 0,42 • ОД + ОД =--• 0,704.

По формуле (42) находим индекс инфляции за полгода: /<,°-5> =(1 + 0,03')6 =1Д941.

По формуле (43) находим наращенную сумму с учетом ее обесценения: = 16 -(14 0,5- 0,46) ,.

Следовательно, из-за инфляции реальная доходность помещения денег на депозит в виде годовой процентной ставки по формуле (23) составит: = 0,0601,

Такой же результат получим, и воспользовавшись формулой (46), в которой п = 0,5 , г = 0,46 , /j,n) =1Д941:

Действительно, поскольку годовой индекс инфляции составит: /^ = (1 + 0,03)12 = 1,4258 , то, применяя последнюю формулу при п = 1, получим: г = 1,4258 -1 = 0,4258 = 42,58%.

Так как для годового темпа инфляции имеем А] = ОД , то по формуле (44) находим искомое значение процентной ставки:

Определим вначале наращенную сумму без учета инфляции по формуле (15), полагая Р = 8 тыс.

Таким образом, реальную доходность от помещения денег в рост определяем по формуле: г = °>824 = ОД373 , т.

По формуле (42) определяем индекс инфляции за 3 месяца (0,25 года):

Согласно первому подходу вначале определяем по формуле (45) процентную ставку, обеспечивающую при данной инфляции реальную доходность 40% годовых: =

Поскольку реальная доходность операции учета должна соответствовать реальной доходности, доставляемой реальной процентной ставкой 40% годовых, то искомая учетная ставка находится по формуле (26), где п = 0,25 и г = 1,0213.

При другом подходе вначале находим по формуле (26) значение реальной простой учетной ставки, соответствующее значению реальной процентной ставки 40%: d = - ^ - = 0,36364 = 36,364%.

Затем по формуле (47) находим учетную ставку, обеспечивающую в условиях существующей инфляции реальную доходность согласно учетной ставке 36,364%:

Определяем по формуле (42) индекс инфляции за

Тогда начисленные проценты без учета инфляции находим по формуле (12): / = />.

Заметим, что такой же результат получим сразу, определяя по формуле (26) учетную ставку, эквивалентную простой процентной ставке г = 83,55% при п = % : d- °'8355 =0.

9-2686 129 а) Полагая HQ = 0,25 года и учитывая, что HQ < п\ , по формуле (49) получим:

Этот же результат можно получить, и не пользуясь формулой (49), а составив для данной конкретной ситуации уравнение эквивалентности, руководствуясь принципом финансовой эквивалентности.

б) Поскольку в этом случае и0 = 0,75 и «о > п\ > то по формуле (49) получим:

Следовательно, РО находится из уравнения Р0 = Pi(\ + (n0 -ii)r)> COB~ падающего по виду с примененной формулой.

, г = 035 , по формуле (50) для случая Р0 < Р] получим: г°Да>или «о «135 дней.

Р0 >—}-— (что и указано в формуле

Можно было и сразу воспользоваться формулой (51), полагая /1=3 тыс.

Обратим внимание, что пользоваться формулой (51) можно только в том случае, когда справедливо неравенство "' РЬ РО > X — - — • В противном случае эта формула даст отрицаk=\!

У "or < 1 и nkr < 1 Л™ всех ^ > то вместо форk=\мулы (51) можно воспользоваться ее приближенным вариантом - формулой определения среднего срока (31).

, nj = 60/360 года, «0=25/360 года, d = 0,3 и учитывая, что^

Учитывая, что Р0 > /J , по формуле (53) получим:

Можно и сразу воспользоваться формулой (54), полагая /J = 12 тыс.

Кстати, согласно формуле (54), новый вексель не может быть выписан на сумму, меньшую 68,796 тыс.

• Формула наращения по сложным процентам является одной из базовых формул в финансовых вычислениях, поэтому для удобства пользования значения множителя наращения табулированы для различных значений процентной ставки и числа периодов начисления.

Приведите формулу дисконтирования по сложной процентной ставке.

, г = 0,25 , при наращении сложными процентами по формуле (55) получим:

Множитель наращения в формуле (55) всегда можно вычислить непосредственно по формуле, однако при решении этого примера можно воспользоваться и таблицей 1 значений этого множителя из приложения З1.

Если бы наращение осуществлялось простыми процентами, то по формуле (9):

Применяя при Р = 1 и г = 0,3 для простых процентов формулу (9), а для сложных - формулу (55), получим следующие результаты, представленные для наглядности в табличном виде: (млн руб.

Поскольку имеем дело с переменной процентной ставкой, то, полагая в формуле (56).

При использовании схемы сложных процентов воспользуемся формулой (55).

Если использовать смешанную схему, то при w = 3 , / = 0,25 по формуле (57) получим:

Наращенная сумма находится по формуле:" 1 + 0-Л'

Если же сумму Р(\ + r)w+ учесть простыми процентами "со 100" за лишнее время, то наращенная сумма определяется формулой:

применить формулу:

- 0,25 = 0,75 , то, применяя последовательно три последние формулы, получим:

Поэтому нужно воспользоваться формулами (58) и (59), когда параметры формул имеют следующие значения: Р = 40 , п = 2,75 , т = 2, w=5 (количество целых полугодий в 33 месяцах), / = 0,5 (поскольку 3 месяца от 6 месяцев составляют половину или же можно формально найти таким образом f = m-n-w =2-2,75-5 = 5,5-5 = 0,5), /-(2) = 0,26.

Поэтому формулы (58) и (59) дают один и тот же результат:

Естественно, в этом случае мы фактически пользуемся формулой (55), в которой п = \\, г = 0,26/4 = 0,065.

В связи с этим заметим, что, используя обозначение множителя наращения в формуле (55): FM\(r,n) = (1 + г)" , формулу (58) можно записать в виде:

Так как срок хранения (9 месяцев) меньше периода начисления (1 год), то согласно смешанной схеме начисляются простые проценты и можно воспользоваться, например, формулой (9), где г = 1Д , и = % = 0,75 :

Если начисляются проценты из расчета 22% за квартал, то, поскольку 9 месяцев равны трем периодам начисления, используем формулу (55), где г = 0,22 , п = 3 :

Для первого варианта по формуле (9) получим: F = P(l + (0,75 + /) • 1,1) = 1.

Для второго варианта можно применить формулу (57), где г = 0,22 , w = 3, и , используя уже введенное обозначение / из искомого срока хранения, в качестве / из формулы (57) надо взять 4/ (так как квартал в 4 раза меньше года).

Решение, а) Если начисляются сложные проценты, то можно воспользоваться формулой (60), где Fn = 4Р , т = 1 ,

При начислении простых процентов найдем в общем виде время, необходимое для увеличения первоначальной суммы в k раз (кстати, формула (60) получается аналогично).

Для случая сложных процентов формула (60) согласно условию задачи примет вид (так как Fn = 2Р , m = 1.

Так, если годовая ставка г = 12%, то применение "правила 72-х" дает значение п = 6 годам (а по формуле (60) получим п = 6,1 16 года).

Если же годовая ставка г = 30% (как в примере), то по правилу п = 2,4 года (а по формуле (60) получили и = 2,642 года).

Следует также обратить внимание на то обстоятельство, что, хотя в большинстве финансовых расчетов процентная ставка берется в десятичных дробях, в формуле алгоритма "правила 72-х " ставка взята в процентах.

достаточно близкое к полученному по точной формуле значению и = 2,642 года.

Решение, а) Так как п - 1, F7 = ЗР, m = 2 , то по формуле (61): _1_ г(2) = 2(3 2^-1) = ОД 633, т.

Изучение большинства методов финансовых вычислений не требует серьезной математической подготовки, однако определенные усилия необходимы, если ставится цель понять сущность той или иной используемой формулы.

Относительные расходы предпринимателя по обслуживанию ссуды могут быть определены с помощью расчета по формуле (63) эффективной годовой процентной ставки - чем она выше, тем выше уровень расходов.

Необходимо отметить, что принятие решения не зависит от величины кредита, поскольку критерием является относительный показатель - эффективная ставка, а она, как следует из формулы (63), зависит лишь от номинальной ставки и количества начислений.

Полагаем rfj- = 0,4 и пользуемся формулой (62).

Подставляя в формулу (64) Р = 50 тыс.

а) При ежегодном наращении пользуемся формулой (65) при г = 0,36 :

(1 + 0,36)6 б) При ежеквартальном наращении пользуемся формулой (66) при m = 4 и r(ffl) = 0,36:

Если использовать обозначение множителя дисконтирования FM2(r,n), формулу (66) можно записать в виде: ,(>")

Так как с позиции текущего момента (формула (65)):

Полагая в формуле (65) п = 4,75 , F^js = 20 тыс.

Воспользовавшись формулой (55) при и = 2,5, Р = 20, г = 0,3 , получим:

, п = 1,5, m = 2, r ' =0,34, по формуле (58) получим сумму на счете через полтора года:.

, вторая находится по формуле (55):

Второй вариант анализа основан на дисконтированных оценках с использованием формул (65) и (66).

Тогда по формуле (65) можно рассчитать приведенную стоимость ожидаемого поступления при участии в венчурном предприятии:

Однако следует иметь в виду, что такой вывод сделан в результате оценки риска путем введения премии в размере 8%, Если же, например, считать достаточной премию в размере 4%, то по формуле (65) получим: /> = — — - = 210-0,2923 = 61,383 тыс.

Решение, а) Стоимость привлеченных средств можно найти по формуле (23), где через Р обозначена использованная сумма средств; через F - Р - проценты, выплаченные за использование суммы Р в течение времени п , a F определяется с помощью формулы (58), где и = 0,75 , m = 4 , г^ = 0,32.

Конечно, можно было и сразу применить формулу (81): -1 , устанавливающую эквивалентность простои (ml ставки г и сложной ставки г : = 0,3463.

По существу в изложенном предыдущем решении приведена схема вывода этой формулы.

б) Полагая и = 1, воспользуемся сразу формулой (81) или, что то же самое в этом случае, формулой (63): -1 = 0,3605 = 36,05%.

Теперь по формуле (64) можно определить доходность финансовой операции для банка в виде эффективной процентной ставки:т.

Что показывает множитель наращения в формуле наращения простыми процентами?

Следовательно, по формуле (64) доходность сделки для кредитора составит: = Г 2,05 _ , = Ж _!

Помещая их на валютный депозит, через полтора года можно получить (согласно формуле (58)):

, п = 5 , т = 4 , Л4-1 = 0,28 , по формуле (58) находим наращенную сумму до уплаты налога: ^5 = 20о( 1 + ^} = 773,937 тыс.

Это значение можно получить и по формуле (101), где °a4 =1,3.

Используя обозначения предыдущего примера, итоговую наращенную сумму после уплаты налога на проценты находим по формуле (102):

Для определения величины налога за каждый год воспользуемся рекуррентным соотношением, следующим из формулы (103): <2(fc) =[a-(a-\)q]Q(-k~[),rae k = 2,3,.

Сравните результат, полученный по точной формуле, с результатом, полученным с помощью "правила 72-х".

Приведите формулу наращения по сложной учетной ставке.

, d = ОД , по формуле (67) получим:

При применении только сложной учетной ставки воспользуемся формулой (67).

Если же использовать при учете смешанную схему, то при w = 2 , / = 2/3 по формуле (68) получим:

Полагая в формуле (9) Р = 10 тыс.

и d = ОД 8 для простой учетной ставки формулу (19), а для сложной - формулу (67), получим следующие результаты, представленные для наглядности в табличном виде: (млн руб.

и пользуемся формулой (69).

Если использовать формулу (69), то

Пусть дисконтирование осуществляется по смешанной схеме _ 25 25 - 25 1 по формуле (70).

Решение, а) Полагая в формуле (71) Р = 62 тыс.

Величину начисленньгх простых процентов, выплачиваемых ежегодно, определяем из формулы (12) при / = 1: /1 =10-1-0,26 = 2,6 тыс.

б) В случае простой учетной ставки воспользуемся формулой (22), где F = 80 тыс.

Решение, а) Применяя формулу (72), в которой Р = 0,25Fn, п = 2,5 , т = 4 , получим: = 4(1 - 0,254'2'5) = 0,5178, т.

Используя формулу (74), вычислим для некоторых значений w эффективную годовую учетную ставку и результаты запишем в табличном виде: т 1 2 4 12 24 365 def 0,18 0,1719 0,1682 0,1659 0,1653 0,1648

Полагаем def -0,3 и пользуемся формулой (73).

Подставляя в формулу (75) п = 3,5 , Р = 5 , /-35 = 12 , находим;

Будем пользоваться формулой (77), где Р - 90 тыс.

Полезно заметить, что во всех случаях можно было воспользоваться и формулой (76), полагая число периодов равным соответственно 10, 20 и 60, а учетные ставки - 12% (24% : 2), 6% (24% : 4) и 2% (24% : 12).

Если бы наращение сложными процентами осуществлялось с помощью процентной ставки, то для вариантов а), б), в) получили бы по формуле (58) следующие значения наращенных сумм: a) F5 = 90 1 + — = 279,522 тыс, руб.

Наращенную сумму за первые два года определяем по формуле (76), где К =20, п = 2, и?

Наращенную сумму за следующие два года определяемтакже по формуле (76), где Fn = - г-, п = 2, J = OJ9:(1-0,1 б)2тыс.

Теперь можно воспользоваться формулой (64), где Р = Q,91 F , Fn =F и n = 1 /12 : — 12 r,f =| F |'/12 -1 = (—1—1 -1 = 0,4412, или 44Д2%.

Записывая формулу для вычисления rej в виде: l-0,03 делаем вывод, что начисление процентов один раз за год по процентной ставке 44,12% обеспечивает такой же результат, как и начисление ежемесячно процентов по годовой номинальной учетной ставке с?

Решение, а) Стоимость привлеченных средств найдем по формуле (23), где через Р обозначена использованная сумма средств; через F - Р - проценты, выплаченные за использование суммы Р в течение времени п, a F определяется с помощью формулы (77), где п = 0,25 , m = 2, d(2) = 0,28.

Естественно, можно было и сразу применить формулу (85): ( \ \~тп т } г =--------------------, устанавливающую эквивалентность пропстой ставки г и сложной учетной ставки d^:= 0,3132.

0,25 б) Полагая п = 1, воспользуемся сразу формулой (85) эквивалентности простой процентной и сложной учетной ставок:.

Действительно, по формуле (26): d = °'3521 = 0,2604, 1 + 0,3521 а по формуле (74) получаем то же значение: , =0,2604.

Теперь по формуле (75) можно определить доходность финансовой операции для банка в виде эффективной учетной ставки:.

Обозначим через Р первоначальную стоимость станка, Рп — остаточную стоимость станка через и лет и получим формулу для определения стоимости станка на конец k -го года.

13* 195 мости станка: d = 1 - ет— (очевидно, эта формула не случайно напоминает формулу (75) определения эффективной годовой учетной ставки).

Теперь с помощью формулы (10) можно рассчитать возможные значения суммы к погашению.

Накопленную сумму и эффективную процентную ставку во всех случаях, кроме последнего, находим соответственно но формулам (58) и (63).

, п = 5 , 5 = 0,07 , по формуле (78) получим:

Если в данном случае применить формулу (55), т.

Если же воспользоваться формулой (55) при г = 0,27, то получим:

Решение, а) Для определения искомой суммы воспользуемся формулой (78).

, 5 = 0,25 , из этой формулы получим:

Полагая в формуле (79) Fn = 25 тыс.

Если бы начислялись сложные проценты, например, по годовой номинальной процентной ставке г^ = 0,28 , то по формуле (60): т 25 In — п= - = 3,497 года, т.

Пусть Р - величина ссуды, тогда при использовании процентной ставки банк получит через 7 лет (согласно формуле (58)):

Теперь для определения силы роста можно воспользоваться формулой (80):

Конечно, этот пример можно было решить, и воспользовавшись сразу формулой (97), связывающей эквивалентные силу роста и сложную процентную ставку.

Поэтому доходность в виде простой годовой процентной ставки составит (по формуле (23)):

Обратим внимание, что в данном случае по существу была применена формула (93).

б) При определении ге, воспользуемся формулой (64): - 1 = е°'3 - 1 = 0,3499 = 34,99%.

Через 6 лет господин N должен будет вернуть (согласно формуле (78)) сумму, равную ре 0,25-6 _ peis?

По существу воспользовались формулой (23).

По формуле (78) за первые два года при силе роста 5 = 0,2 наращенная сумма составит:

С целью проверки применим непосредственно формулу (101): Fn = 15[е°'3'ЗД93(1-ОД2) + ОД2] = 36,202*36,2 тыс.

Обозначим через F сумму, которую необходимо будет вернуть банку, и вначале для определения процентов /, удержанных банком, воспользуемся формулой (14), где P = F.

• Формулы, связывающие эквивалентные простые и сложные ставки, зависят от продолжительности периода начисления Формулы, связывающие эквивалентные сложные ставки, не зависят от продолжительности периода начисления.

Используем формулу (81) при и = 3 , т = 4 , г(4) = 0,3 : г = -^------+--------= 0,4606.

Конечно, можно было найти эквивалентную сложную процентную ставку для простой ставки 48% • по формуле (82): г(4) = 4(^1 + 3-0,48 -1) = 0,3087 и поскольку г(4) > 30% , приходим, естественно, к такому же выводу.

б) Полагая п = 4 , т = 4 , г4^ = 0,3 , по формуле (81) получим: г = ± - -^ - = 0,5452.

Полагая в формуле (83) п = 0,75, находим: d = —^------—^------= 0,2951.

С целью проверки можно воспользоваться формулой (84), где d = 0,2591: й?

По формуле (87) при п = 0,25, Л * = 0,27 находим требуемую величину простой учетной ставки:

Для проверки результата воспользуемся формулой (88): _(12) _ 12 ______!

Решение, а) Применяем формулу (92) при т = 2, 1 = 4, г(4) = 0,24 :

Проверим полученный ответ по формуле (91), где уже т = 4, 1 = 2: _2 г(4> = 4[[ 1 - — ] 4 - 1] « 0,23999 » 0,24.

б) Из формулы (92) при w = / = 2 , г(2^ = 0,24 получим:

Заметим, что при т - 1 из формул (91) и (92) получим соответственно равенства: ^("0 ,.

Решение, а) Полагая в формуле (94) п = 2 , г = 0,26 , находим:

Проверку полученного ответа можно осуществить по формуле (93):

Из формулы (94) следует, что с ростом срока п величина эквивалентной непрерывной ставки будет уменьшаться.

б) По формуле (97) при т = 12 , г(12) = 0,26 :

Для проверки воспользуемся формулой (98):

Покажем, что для данной ситуации нетрудно получить формулу в общем виде.

Тогда по формуле г(т) _ _г(т) (59) множитель наращения имеет вид (1 +------)*(!

Множитель наращения т при использовании простой процентной ставки согласно формуле (9) имеет вид 1 + пг.

Приравнивая эти множители наращения, находим, что эквивалентная простая процентная ставка находится по формуле: (i+^-fo+7-r(m)^ • г т_________т о 35

Таким образом, из полученной выше формулы следует, что простая процентная ставка г эквивалентна по существу двум процентным ставкам: сложной ставке г^, применяемой за время, равное целому числу подпериодов, и простой ставке г^, применяемой за время, равное дробной части подпериода.

При этом если дробная часть подпериода равна нулю (/ = 0), то w = [тп] = тп и полученная выше формула совпадает с формулой (81), а если целое число подпериодов равно нулю (w - О), то

7 fml — = п и полученная формула примет вид г = г( '.

Если бы начислялись только сложные проценты, то воспользовались бы формулой (81):

Для определения эквивалентной простой годовой учетной ставки нельзя воспользоваться формулой (87), поскольку при ее выводе считалось, что временные базы ставок одинаковы.

Однако необходимую для решения данного примера формулу нетрудно получить, приравнивая соответствующие множители наращения.

• Формула Фишера определяет значение сложной годовой процентной ставки, обеспечивающей при известном годовом темпе инфляции реальную эффективность кредитной операции.

Эта формула по существу показывает ту величину, называемую инфляционной премией, которую необходимо прибавить к исходной ставке доходности для компенсации инфляционных потерь.

При малом темпе инфляции и невысокой процентной ставке (эта ситуация типична для стран с развитой рыночной экономикой) пользуются и приближенным вариантом формулы Фишера.

Что определяет формула Фишера?

Какая величина в формуле Фишера называется инфляционной премией?

В каких случаях можно пользоваться приближенным вариантом формулы Фишера?

Уп года) индекс инфляции, тогда 1р12 =1,03 и по формуле (42) при А: =12 находим индекс инфляции за год: -L V2 XI = ЮЗ12 =1,4258.

Пусть / - процентная ставка при ежегодном начислении сложных процентов, тогда в соответствии с формулой (104) значение ставки, лишь нейтрализующей действие инфляции, находится из равенства 1 + г = I® (т.

б) При ежеквартальном начислении сложных процентов для определения номинальной ставки, лишь нейтрализующей действие инфляции, согласно формуле (104) пользуемся равенством

Заметим, что величину сложной процентной ставки, лишь нейтрализующей действие инфляции, можно найти из формулы (105), при г(т) = 0 :

По формуле (58) за п = 1,75 года (21 месяц) сумма вклада составит:

Индекс инфляции за 1,75 года при темпе инфляции 2% в месяц находим по формуле (42): /О-75) = (1 + 0,02)21 =1,5157.

Применяя формулу (104), находим величину вклада с точки зрения ее покупательной способности:

Полагая в формуле (105) tn •--•-!

Погашаемую сумму находим по формуле (55) при Р - 120 тыс.

Во всех случаях при определении величины устанавливаемой процентной ставки можно воспользоваться формулой (105).

Однако эта формула в силу соотношения /^ = (1 + А)" , справедливого для данного примера, приобретает более простой вид: т а) Полагая т = 2, г^ = 0,24 , h = 0,14 , из последней формулы получим:

Решение, а) Обозначим через Р величину денежной суммы, через г - годовую процентную ставку, через h - темп инфляции за год и воспользуемся формулой (104), принимающей в этом случае следующий вид:

1п1,36-1п1Д б) Для сложной годовой учетной ставки d формула (104) принимает вид: (1 -«/)"(!

При решении этого примера можно было вначале вывести общую формулу для определения срока.

Полагая в формуле (1 10) /^ •=• (1 + -/г)" , Fn =1,6P и разрешая полученное уравнение относительно п , находим:

Полагая в формуле (110) п = \, /^=1,4, 5 = 0,5, получим:

Значение такой ставки находим по формуле (109):

В этом случае в формуле

Для определения искомой процентной ставки воспользуемся формулой Фишера (111) при г = 0,16 и h = ОД :

При малом темпе инфляции и невысокой процентной ставке применяют и приближенную формулу: т «г + Н.

Конечно, для должника желательно использование приближенной формулы, а для банка, предоставляющего кредит, выгоднее применять точную формулу (111).

Полезно отметить, что при решении примера можно было воспользоваться формулой (105).

формула Фишера является частным случаем формулы (105).

При п = 1 формула (44) совпадает с формулой Фишера.

Воспользуемся формулой (106), которая в условиях примера примет вид (т = 1, п = 1, 1^ = 1 + h):

Обратим внимание, что при решении этого примера можно было воспользоваться и формулой (46).

Очевидно, и формула Фишера позволяет ответить на вопросы примера.

В частности, подставляя в нее значения процентной ставки и инфляции первого случая (в обозначениях формулы Фишера: F = 0,45 , /г=ОД5), получим уравнение 0,45 = г + ОД5 + 0,15г , откуда

Полагая и = 3, /^'=2,1, «; = 12, /-(12)=0,4, по формуле (106) определяем реальную номинальную процентную ставку: т;гЬггг=-1] = ОД471.

Поэтому согласно формуле (63) реальная доходность в виде годовой эффективной процентной ставки составит: т.

Можно было решить пример и несколько иным способом Вначале, обозначая величину вклада через Р, по формуле (104) , , при а= 1 + —— определяем наращенную сумму с точки зрения ее покупательной способности:

Затем по формуле (64) находим доходность:

Если при втором способе решения действия провести в общем виде, то полученная формула покажет, что на самом деле можно было сделать меньше вы/ ,.

Воспользуемся последней формулой для нахождения реальной доходности предложения банка при полугодовом начислении сложных процентов:

Подставляя в формулу (75) и = 3 , Р = 18, F3 = 30,375, находим:

А затем по формуле (26) при я = 1 , г = rej или по формуле (3) при rt = ref найти эквивалентную ставку def : е \ + ref 1 + OJ906

За 4 года с учетом инфляции величина кредита вместе с начисленными процентами составит (формулы (42) и (104)): = 1,7118/'.

Теперь доходность финансовой операции в виде эффективной процентной ставки находим по формуле (64): _ е]

В данном случае вычисления можно несколько сократить, если F4 не вычисляя сразу подставить в формулу для определения r :

Годовой индекс инфляции определяем по формуле (42): /W =(1 + ОД)4 =1,4641.

Наращенная сумма без учета инфляции в соответствии с формулой (58) составит ( Г(12)У2

Если наращение осуществляется по учетной ставке d ' , то, используя формулу (77), получим:

Заметим, что такой же результат получим, и определяя по формуле (92) учетную ставку d^, эквивалентную процентной ставке г(12) = 68,31% при т = 4 , / = 12 :

Нумерованный список основных формул приведен в приложении.

Можно ли трактовать формулы наращения сложными и непрерывными процентами как один из случаев замены одного платежа другим?

Решение, а) Поскольку применяется сложная процентная ставка, то в формуле (112) а = 1 + г и сама формула принимает вид:

Естественно, решать этот пример можно было, и не используя формулу замены платежей.

, после чего применить формулу (66).

Решение, а) В этом случае, как и в предыдущем примере, пользуемся формулой Р0 =Р1(1 + г)"°~"1 , где Р^=20 тыс.

(1 + 0,32)3 б) Так как применяется сложная учетная ставка, то в формуле (1 12) а = (1 - d)~l и сама формула принимает вид:

в) В случае непрерывных процентов в формуле (112) а = е , следовательно, />0 =/>/("<> -"О.

Так как можно вложить деньги под сложную процентную ставку, то в формуле (113) а- 1 +------| и формула

, н,=3, т = 4, г(т) = /-(4) = 0,28, то согласно формуле:

Заметим, что если в формуле (113) для сложной процентной ставки перенести щ в левую часть равенства и обозначить Р, = Р, Р0 = Fn, n0 - «!

= и , то получим формулу (60).

Подобные суждения можно высказать и о связи формулы (113) (при соответствующих обозначениях) с формулами (71) и (79).

Так как применяется сложная процентная ставка, то формула (1 14) при а = \-\-r принимает «ид:

, то для определения срока выплаты воспользуемся формулой (i 15), где а - 1 t r и Р0 - 100 тыс.

Тогда можно воспользоваться формулой (1 13):.

I г^ \ центная ставка г(т>, то а = \ 1 +----- , и формула (114) принит мает вид:

для определения срока выплаты воспользуемся формулой (115), которая в этих условиях принимает вид: т и, следовательно, искомый срок будет равен: _ InlOO - ln[20 • (1,09)"6 + 30 • (1,09)~8 + 50 • (1,09)"16] = "°~ 41nl,09 ~ '

Конечно, этот же результат можно было получить и по формуле (113), полагая Р0=100 тыс.

а) В этом случае пользуемся формулой (114) при а = \ + г, где г = 0,3 : ~> 40 "> 8 = 44-875 тыс-(1 + 0.

б) Так как здесь используется непрерывная ставка, то формула (1 14) при а = е5 принимает вид:

Если же используемой при решении примера формулы нет в списке, то она приводится непосредственно в тексте.

В этом случае формулы для оценки будущей и приведенной стоимости аннуитета существенно упрощаются.

Значения коэффициента наращения аннуитета, входящего в формулу определения будущей стоимости, табулированы для различных значений процентной ставки и сроков действия аннуитета.

Также табулированы значения коэффициента дисконтирования аннуитета, входящего в формулу определения приведенной стоимости.

Какая формула лежит в основе оценки наращенного денежного потока?

Какая формула лежит в основе определения общей величины приведенного денежного потока?

Отметим, что в указанных обозначениях величины F и i , конечно, можно найти по формулам (15) и ^16).

Как получить формулы определения будущей или приведенной стоимости аннуитета при начислении непрерывных процентов?

В каких случаях для определения приблизительно приведенной стоимости срочного аннуитета можно воспользоваться формулой для определения приведенной стоимости бессрочного аннуитета?

будущей стоимости аннуитета) можно воспользоваться общей формулой (116), полагая г = 0,25, С\ = С^ = ••• - С7 = 3.

Однако удобнее пользоваться уже преобразованным вариантом этой формулы для постоянного аннуитета, а именно формулой (120), из которой при А = 3 тыс.

3 приложения 3, либо вычислить непосредственно по формуле, определяющей этот коэффициент.

, можно воспользоваться формулой нахождения приведенной стоимости аннуитета.

Применяя формулу (121), находим:

Естественно, можно было воспользоваться уже ранее найденной будущей стоимостью FVpSt и формулой (65):

Для определения будущей и приведенной стоимости этого аннуитета пренумерандо можно воспользоваться полученными результатами и формулами (118) и (119) или соответственно формулами (126) и (127) при m = р = 1 :

К концу шестилетнего периода накопленная сумма может быть рассчитана в соответствии с формулой (120), где т = 30%:

По формуле (121) находим приведенную стоимость денежного потока, получаемого при первом варианте оплаты аренды:

По формуле (65) определяем приведенную стоимость Р„ = 240 тыс.

Если начисляются только сложные проценты, то по формуле (122) при А = 8 тыс.

Так как, естественно, значения FM3 (24%, —) в таблице нет, то его вычисляем непосредственно по формуле FM\r,n) =-----------при и = —, г = 0,24 : 4_!

Если в течение года происходит начисление простых процентов, то по формуле (129) получаем:

б) В данном случае можно воспользоваться формулой (120), считая базовым периодом начисления процентов квартал.

в) В этом случае, пользуясь формулой (122) при А = 8 тыс.

Очевидно, что при решении этой задачи (в случае начисления только сложных процентов) можно было пользоваться только общей формулой (122), выбирая соответствующие значения параметров.

Заметим, что в ряде книг формулы оценки аннуитета имеют несколько отличный вид от соответствующих формул, приведенных в пособии, поскольку в них вместо величины А каждого денежного поступления взята за основу суммарная величина А денежных поступлений за базовый период начисления процентов (обычно за год).

Таким образом, в формулах (122)-(124) и ~А им подобных вместо множителя А появляется множитель —.

Воспользуемся во всех случаях только формулой (123), где А = 30 тыс.

Р 2 поэтому применяем непосредственно расчетные формулы.

а) Полагая г = 36%, по формуле (121) находим: pvpst = 8' FM4(36%,6) = 8 • 2,3388 = 18,710 тыс.

б) В этом случае, используя формулу (123) при m = 12 , р = 1, получим: р.

Подставляя в формулу (23) значения F ~ 8,9 тыс.

Можно вначале найти эффективную годовую процентную ставку для г(12) = 0,36 по формуле (63):

А затем применяем формулу (121) при г = 0,4256 : pSt = 8 • FM4(42,58%,6) = 8 •J ~ С1 + °>4258) = 16>552 тыс.

в) Полагая в формуле (132) 5 = 0,36 ,/> =!

а) Полагая г = 30% , т = 1 , по формуле (123) находим: р.

Поэтому по формуле (123): т 2 р 4 2

в) Так как начисление процентов происходит непрерывно, то полагаем 5 = 0,3 и пользуемся формулой (132):

В случае а) пользуемся формулой (121), определяя FM4(r,n) либо по таблице, либо непосредственно по расчетной формуле.

В случае б) пользуемся формулой (125), полагая Л = 6.

Поскольку VA = FM2(r,h), то, например, для г = 5% по формуле (125):

В случае в) также пользуемся формулой (125), полагая А = 9.

В заключение отметим, что в формуле (125) А не обязательно должно быть целым числом.

А вот если оно целое, как в условии примера, то формулу (125) можно привести к виду:

от значения, полученного по формуле (125) и равного 29,047 тыс.

Очевидно, кстати, что при Л = 0 из формулы (125) следует формула (121).

Во-первых, из формулы (120) путем преобразований можно получить в общем виде формулу для расчета срока аннуитета, принимающую вид:п = •ln(l + г)и подставить в нее значения FVpSt - 350 тыс.

Во-вторых, пользуясь непосредственной формулой для расчета РМЪ(г,п) , можно в формулу (120) подставить все известные значения и решить полученное уравнение относительно п.

Так как формула (120) имеет вид: -.

Теперь, преобразуя формулу (120), определяем величину ежегодного взноса:

б) Найдем искомый срок, подставляя в формулу (122) значения всех известных параметров и учитывая, что в этом случае р = 1, т = 2.

2 m 1,14 в) В этом случае т = 12 , поэтому из формулы (122) следует:

Полагая г = 20%, по формуле (121) найдем приведенную стоимость этого аннуитета на момент выхода работника на пенсию:

Поэтому размер каждого вклада можно найти из формулы (120), полагая FVpSt =38497,6 руб.

Величину А можно найти из формулы (120), полагая FVpSl = 400 тыс.

В первом случае на основании формулы (120) имеем:

Во втором случае на основании формулы (126) имеем:

Полагая в формуле (124) А = 8 тыс.

Найдем начисленные проценты за первый кредит по формуле (12) при Р = 30 тыс.

а) Так как г = 0,28 , то по формуле (124) при р = m = 1 получим: • = 42,857 тыс.

ра 0,28 б) Полагая в формуле (124) г = 0,28 , m = 4 , р = 1, находим: -----= 38,611 тыс.

- в) Поскольку в этом случае р = 1 , 5 = 0,28 , то из формулы (133) следует: е ' -1

Полагая в формуле (124) г = 0,25 при р = т = 1 , получим: = 80 тыс.

Для оценки второго проекта пользуемся формулой (117) при п = 2 , С, = 40 тыс.

По формулам (124) и (117) соответственно получим:

Поэтому для нахождения величины А можно воспользоваться формулой (121), из которой следует:

Так как поток годовых платежей представляет собой аннуитет постнумерандо, то срок и погашения долга можно определить, преобразовав формулу (121): ln(l + г)

Поэтому общая доходность этих кредитных операций за полгода в виде простой годовой процентной ставки по формуле (23) составляет:

, п = 5, т =2, р = 1 и г = 24%, из формулы (123) находим величину платежа:.

Цена, по которой банк может приобрести этот аннуитет, определяется по формуле (123) при m = 4 , г = 28% :

15/' Теперь, используя формулу (25), можно определить доходность финансовой операции для банка в виде годовой процентной ставки:т.

Для оценки переменного аннуитета используют, вообще говоря, общие формулы оценки денежного потока.

• Если члены аннуитета изменяются в соответствии с некоторыми законами (в частности, образуют арифметическую или геометрическую прогрессию), то общие формулы для определения будущей или приведенной стоимости аннуитета можно упростить.

• Чтобы при оценке переменного аннуитета без явно выраженной зависимости между его членами пользоваться стандартными формулами, надо стараться представить этот аннуитет в виде суммы или разности постоянных аннуитетов.

Каким образом можно получить формулы для оценки непрерывного аннуитета?

Приведите пример переменного аннуитета, при оценке которого можно воспользоваться формулами оценки постоянного аннуитета.

Тогда можно воспользоваться формулой (134) при /[ = 10 тыс.

Сравним этот результат со значением, полученным по формуле (122), полагая, что в году 360 дней и дан аннуитет постнумерандо.

Кстати, считая, что имеем дело с аннуитетом пренумерандо, по формуле (126) находим:

Поскольку при т = 12 (и поэтому — = — — = 0,0125) табличным значением ко-w 12 эффициента наращения аннуитета воспользоваться нельзя, перед вычислением преобразуем немного формулу (134): [(1 + — )тп - 1].

Предполагая же, что в условии говорится о постоянном аннуитете постнумерандо или пренумерандо, соответственно по формулам (122) и (126) получим: „„а Ю (1 + 0.

Считая, что денежные поступления происходят непрерывно, воспользуемся формулами (137) и (138), определяющими соответственно будущую и приведенную стоимости непрерывного аннуитета.

Конечно, при определении PF0'5' можно было воспользоваться уже найденным значением FVa^ и формулой (78), из которой следует: ру"(5) =^{/а(б).

моделируя ситуацию с помощью непрерывного аннуитета), для нахождения необходимой суммы воспользуемся формулой (135) определения приведенной стоимости аннуитета.

Для определения будущей стоимости аннуитета можно воспользоваться формулой (116).

Стоимость привлеченных средств можно найти по формуле (23), где через Р обозначена использованная сумма средств; через F-P - проценты, выплаченные за использование суммы Р в течение времени п.

б) Для определения приведенной стоимости аннуитета можно воспользоваться формулой (117).

Для определения будущей и приведенной стоимости этого аннуитета пренумерандо можно воспользоваться полученными результатами и формулами (118) и (119):

Решение, а) Согласно условию имеем переменный аннуитет постнумерандо с постоянным абсолютным изменением его членов и, следовательно, для оценки аннуитета воспользуемся формулами (140) и (141).

С целью проверки воспользуемся формулой (65): pvpn = pVpSt • FM2(2Q%,8) = 87,244 • 0,2326 = 20,293 тыс.

Нетрудно получить формулы оценки аннуитета, аналогичные формулам (140), (141), и для других ситуаций.

Однако эти формулы приобретают несколько громоздкий вид.

Полагая в формуле (140) FV?

Пользуясь формулой (18), где F- 24 тыс.

и неизвестна величина z абсолютного изменения денежных поступлений, то по формуле (140) получим:

Поэтому для оценки аннуитета воспользуемся формулами (143) и (144).

и г = ОД4 , по формуле (142) оценки бессрочного аннуитета найдем истинную стоимость акции:

В этом случае истинная стоимость акции по формуле (145) при q = 1,08 составит:

Во-первых, можно воспользоваться общей формулой (1 17).

По формуле (121) можно оценить приведенную стоимость каждого аннуитета, а сумма этих оценок даст значение приведенной стоимости исходного денежного потока: = 12 • FM4(22%40) + 8 • = 12 • 3,9232 + 8 • 3,4155 = 74,402 тыс.

По формуле (121) можно оценить приведенную стоимость каждого аннуитета.

Однако второй аннуитет в этом случае будет оценен с позиции начала восьмого года, поэтому полученную сумму необходимо дисконтировать с помощью формулы (65) к началу первого года.

Поэтому по формулам (121)и (125)при Л = 7, получим:

Действительно, по формуле (7):

С целью проверки можно по формуле (9) определить наращенную сумму с капитала Р = 16 тыс.

• Формулы для оценки будущей и приведенной стоимости аннуитета, период которого больше базового периода начисления процентов, аналогичны формулам для оценки будущей и приведенной стоимости обычного аннуитета.

Формулы для оценок аннуитета пренумерандо получаются из соответствующих формул для оценок аннуитета постнумерандо с использованием, как правило, того факта, что денежные поступления пренумерандо начинаются на период (аннуитета) раньше, чем постнумерандо.

Приведите формулу приведенной стоимости бессрочного аннуитета постнумерандо, период которого больше базового периода начисления процентов.

О 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 < лет а) В этом случае г = 24% , т = 1 и по формуле (146) получим: , ^А/3(24%Д2) , 50,8950 ~ 3 -- - - — - = 3 -- • - = 68,1 63 тыс.

,24 б) Поскольку в этом случае начисление процентов ежеквартальное, то т - 4 и по формуле (146) получим: ги _, FM3(6%,48) _ 256,5645 „ = 3 • —-V—'-; = з.

pst FM3(6%,8) 9,8975 в) Полагая 5 = ОД4 , по формуле (149) находим:

а) Так как г =20%, то, применяя формулу (147) при т -1, получим: =.

,\J /QfJ ) JjU*T б) В этом случае т = 2, г = 20%, и поэтому из формулы (147) следует, что: fM4(10%30)=8.

9,4269 рл FM3(10%,6) 7,7156 в) Поскольку в этом случае начисляются непрерывные проценты с силой роста 8 = ОД, то по формуле (150) получим: = 8 ——------= 9,246 тыс.

а) В соответствии с формулами (146) и (152) получим: = 14.

б) По формулам (147) и (153):

Поэтому для нахождения величины А можно воспользоваться формулой (147), из которой следует:

Полагая в формуле (18) F = \5 тыс.

СВОДКА ОСНОВНЫХ ФОРМУЛ

Часто используемые в формулах обозначения: г (d) - годовая процентная (учетная) ставка (в десятичных дробях); r-"^ (d^)-номинальная годовая процентная (учетная) ставка (в десятичных дробях, индекс т указывает, сколько раз в течение года происходит наращение или дисконтирование); п, I - продолжительность финансовой операции в годах; t - продолжительность финансовой операции в днях; Т - количество дней в году; Р - первоначальный капитал; F -наращенный капитал; Fn - наращенный капитал за п лет.

(5) • Формула вычисления процентов "со 100": Q' = Qr.

(6) • Формула вычисления процентов "на 100": S' =-----.

Кг • Формула вычисления процентов "во 100": К' =-----.

(8) \-г • Формула наращения простыми процентами: F = Р(\ + пг) , (9) • Формула простых процентов в случае нецелого числа лет:

(11) г • Формулы для вычисления процентного платежа (при использовании простой ставки): а) если известна величина капитала (Р ): I-Plr; (12) б) если известна величина капитала, увеличенного на процентный платеж (Р + 1 ): l + lr D' + t в) если известна величина капитала, уменьшенного на процентный платеж (Р -I ): , (P-J)lr , (P-I)t.

(14) l-lr D'-t • Формула наращения простыми процентами по переменной процентной ставке: , (15)

• Формула определения простой процентной ставки, доставляющей при наращении такой же результат, как и несколько простых процентных ставок: где на период Ид.

• Формула определения величины начисленных процентов за пользование кредитом с учетом уменьшения долга с течением времени:

• Формула приведенной стоимости (при использовании простой ставки): Р =-------.

1 + пт • Формула дисконтирования по простой учетной ставке:

(19) р • Формула наращения по простой учетной ставке: F =-------.

(20) \-nd • Формулы для определения срока ссуды (при использовании простой ставки): с1 _ Р f _ р или (=•!

(22) • Формулы для определения простой ставки:

• Формулы для определения средних значений: а) простой процентной ставки: ~l=k^L k=\ б) срока: in

• Формулы для определения средних значений: а) простой учетной ставки: fc=l б) срока:

• Формула наращения простыми процентами с учетом уплаты налога:

• Формула наращения по простой учетной ставке с учетом уплаты налога:

2Г • Формула определения индекса инфляции за период при известных индексах инфляции за составляющие его подпериоды:

• Формула наращения простыми процентами с учетом инфляции: , (43) где 1р - индекс инфляции за период «.

• Формулы определения простой годовой процентной ставки, обеспечивающей в условиях инфляции реальную доходность согласно первоначальной ставке г : г=/ч-г.

• Формула определения реальной годовой процентной ставки при объявленной номинальной процентной ставке в условиях инфляции:

W=(" }' ( } • Формула определения простой годовой учетной ставки, обеспечивающей в условиях инфляции реальную доходность согласно первоначальной ставке d :

Р 324 • Формула определения реальной годовой учетной ставки при объявленной номинальной учетной ставке в условиях инфляции: dreal =' (я) P • Формула для вычисления величины нового платежа при использовании простой процентной ставки: если «о > «i, если л0 = И], если «о < «1, где Р\ и MI - первоначальный платеж и срок его выплату, WQ ~ СРОК нового платежа.

• Формула для вычисления срока нового платежа при использовании простой процентной ставки:

• Формула определения срока консолидированного платежа при использовании простой процентной ставки: / N --1 где платежи P\,P^t.

• Формула для вычисления величины нового платежа при использовании простой учетной ставки:

Полагая в формуле (21) для расчета срока в днях F = 22 тыс.

• Формула дяя вычисления срока нового платежа при использовании простой учетной ставки:

• Формула определения срока консолидированного платежа при использовании простой учетной ставки: k=\ n0=~ где платежи Р\,Р2,.

• Формула наращения сложными процентами: где п ~ число периодов начисления сложных процентов.

• Формула наращения сложными процентами по переменной процентной ставке: т ^=ШО + '*)"*• (56) /t=l где n/f - количество периодов начисления сложных процентов по процентной ставке /?

• Формула наращения по смешанной схеме:

• Формула наращения сложными процентами при начислении процентов несколько раз в год: где п - число лет, m - количество начислений в год.

• Формула наращения по смешанной схеме при начислении процентов несколько раз в год: -Fn=P\ + - - 1 + /- - , (59)

т • Формула для определения срока ссуды (при использовании сложной процентной ставки): п = • mln 1 + - • Формулы для определения номинальной годовой процентной ставки: _!

• Формулы определения эффективной годовой процентной ставки: / / \ \ "' ( г(т) 1 /•,/•=!

•» -- -1, (63) ; I т ) \ • Формула приведенной стоимости (при использовании сложной ставки):

Р = —^ — = Fn-FM2(r,n) (65) • Формула приведенной стоимости (при т -кратном начислении процентов в год):

(66) • Формула дисконтирования по сложной учетной ставке:

• Формула дисконтирования по смешанной схеме:

• Формула дисконтирования по сложной учетной ставке, осуществляемого несколько раз в год: где п - число лет, т - количество осуществлений операции дисконтирования в год.

• Формула дисконтирования по смешанной схеме при дисконтировании несколько раз в год: — 1-- , (70)

т » Формула для определения срока ссуды (при использовании сложной учетной ставки): mln 1т • Формулы для определения номинальной годовой учетной ставки:где rfe^ - эффективная годовая учетная ставка.

• Формулы определения эффективной годовой учетной ставки:— , (74)т• Формула наращения сложными процентами по учетной ставке:

• Формула наращения сложными процентами по учетной ставке при начислении процентов несколько раз в год:

• Формула наращения непрерывными процентами:

• Формула для определения срока ссуды (при непрерывном начислении процентов): „Л п = — ±-.

(79) • Формула для определения силы роста:

• Эквивалентность силы роста и сложных ставок: ,<«) - - ), т __ r(m) =m(e'" -1), (98) (m) т • Формулы наращения сложными процентами с учетом уплаты налога: а) если налог на все полученные проценты выплачивается один раз в конце срока: б) если налог на полученные проценты выплачивается каждый год:

I m J I т ) • Формулы для вычисления величины налога за каждый год при наращении сложными процентами, если налог на полученные проценты выплачивается каждый год:

• Формула наращения сложными или непрерывными процентами с учетом инфляции: где 1р - индекс инфляции за период п , а равно либо 1 + - , либо 1 -- • , либо е.

( т ) ( т ) • Формула определения номинальной годовой процентной ставки, обеспечивающей в условиях инфляции реальную доходность согласно первоначальной номинальной годовой ставке г : /.

(105) т Y • Формула определения реальной номинальной годовой процентной ставки при объявленной исходной процентной ставке г^т' в условиях инфляции:= т Id + — ) — - Ч • (106>• Формула определения номинальной годовой учетной ставки, обеспечивающей в условиях инфляции реальную доходность согласнопервоначальной номинальной годовой ставке d^ :d(m) =m[l-(l-——)—f==]- (107)т• Формула определения реальной номинальной годовой учетнойставки при объявленной исходной учетной ставке d^ в условиях инфляции:.

ai = т$ -О --—Y4Ji(pn) ] • (108)• Формула определения силы роста, обеспечивающей в условиях инфляции реальную доходность согласно первоначальной силе роста 5 :п• Формула определения реальной силы роста при объявленной исходной силе роста 5 в условиях инфляции:.

(ПО)п• Формула Фишера:r=r + h + rh, (111)где h - годовой темп инфляции.

• Формула для вычисления величины нового платежа при использовании сложных ставок:i, (112)где Р| и п\ - первоначальный платеж и срок его выплаты,/IQ - срок нового платежа, а равно либо 1 -\либо 1 -- , либо е.

• Формула для вычисления срока нового платежа при использовании сложных ставок:\пР0 -\пР}п0=п{+ - У- - '-, (113)

• Формула для определения величины консолидированного платежа при использовании сложных ставок: * , (114) k=\ где P\,PI.

Для проверки по формуле (9) найдем наращенную сумму за 107 дней:

• Формула для определения срока консолидированного платежа при использовании сложных ставок: п - ^=!




Главный редактор проекта: Мавлютов Р.Р.
oglib@mail.ru